本文旨在从尽可能物理直不雅的角度设立李群/李代数的寰宇不雅， 主要以 与 为例， 勾搭四元数与泡利矩阵等器用， 通过对一般的三维动掸相对更当代化的论证， 设立相对更当代化的物理不雅点， 从而达到使读者无痛 (极力…) 给与物理学中的群知道不雅点 (为此会殉难不少数学口头严谨巧合是严格解释深爱激情网， 关连内容可见于参考贵寓[1][2][3][4][5]) 著作将当作后续『想源』部天职容的前置先容， 同期本文也不错部分看作一年前『想源』初期对于刚体畅通学和四元数先容的 “重制版”， 内容进行了部分篡改和再阐释.

著作内容仍然遴荐张量话语证明， 折柳落魄宗旨的法律解释并默许对一双落魄哑标进行乞降.

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[这一节插入正文不管哪个地方王人不太天然， 故径直放在正文前一末节当作一个前置基础出现]

泡利矩阵不错构造电子的自旋算符， 同期也不错知道旋转换换 (其实便是 生成元的基)， 在当作 的基方面， 泡利矩阵勾搭单元矩阵又不错与四元数设立同构关系， 它们在描述有限动掸方面是等价的. 底下取以 的本征矢量为基矢的舒坦， 在此舒坦下， 泡利矩阵知道为:

事实上， 是完备的， 具体证明为:

部分关连的性质有:

厄米性:

无迹性:

行列式:

乘积法律解释:

这个法律解释事实上证明了三个方面:

✦ 自逆性:

✦ 对易关系:

✦ 反对易关系:

泡利矩阵组成 的完备基底:

指数关系: 由于 (哄骗性质 3)， 是以不错字据矩阵指数映射的伸开解释:

“群” 在数学中当作一类综合代数系统， 其中的元素温情对群乘法 (履行上便是元素的复合) 的阻塞性， 勾搭性， 况兼存在左右单元元与逆元， 在物理上常用于知道温情一类关系的 “变换” 的逼近. 若逼近元素数 (群的阶) 是有限的， 则称为有限群; 若逼近元素数是无尽的， 则称为无尽群巧合聚拢群.

群当作逼近中的综合元素， 为了履行应用它的性质， 咱们会将其群元与线性空间中的线性映射设立同态映射的关系， 即进行群的知道. 所谓 “同态” 即映射在群与线性映射逼近之间保合手乘法: 通过映射 映射到线性映射的逼近 ， 有 :

若映射 是逐一双应， 则映射是同构的: ， 此时群元与线性映射具有满盈疏通的代数结构， 本体上莫得区别 (这亦然所谓 “同构” 的含义)

但事实上许多场景里咱们考虑的对象是聚拢群 (群的元素是无尽的， 描述一类聚拢的变换巧合是聚拢的对称性)， 那么对应群的知道也会由一些聚拢变化的参数通过合适的映射描述， 由于参数空间中一个笃定的点与笃定的群元是逐一双应的关系， 是以不错通过考虑聚拢群的参数代表点在参数空间的步履去考虑聚拢群的步履， 在这个经由中不成幸免的需要 “流形” 的不雅点.

“李群” 便是在这么的场景下引出的见识. 李群既是一个群， 亦然一个流形， 温情要求: ① 群乘法: 和 ② 求逆: 的映射王人是 的. 从而字据上头的界说， 李群是聚拢群， 况兼亦然微分流形， 李群的维度是相应微分流形的维度， 也恰是相应独处变化的实参数的个数.

由于李群独到的性质， 用矩阵群当作李群的知道是一件相等天然的事情 (至少从物理上说)， 咱们给出一些常见李群的例子:

✦ 一般线性群:

✦ 正交群:

✦ 不定正交群: ， 其中 是度规，国产主播 口头为:

✦ 幺正群:

✦ 荒谬群:

值得一提的是， 正交群用来描述 维实线性空间中的正交变换， 其中的荒谬李子群正不错用来描述旋转换换; 而不定正交群相等于将正交变换中 “保内积” 的等价要求， 实行到特定度规下温情保内积要求变换的逼近， 其中的一个特例便是洛伦兹群 ， 知道整个洛伦兹变换的逼近.

缔造了李群的见识之后， 咱们发现李群当作微分流形， 它的物理图像比起一个综合的 “群元” 或是 “变换” 直不雅了许多， 可是照旧辛苦一个更径直的描述技巧. 不外咱们还不错通过测验履行例子来源.

考虑三维空间的保向旋转换换群 ，  它的每个群元不错通过转轴的朝向 和转角 独一笃定， 不错描述三维空间中即兴朝向即兴角度的旋转换换; 而当咱们固定了转轴的朝向， 只让转角一个变量变化， 这时在舍弃下的整个变换组成了一个 子群.

从微分流形的角度再行注目这个关系， 李子群当作 的单参子群， 事实上便是流形上一条通过恒等变换元的单参数弧线 (暂时设这个参数是 )， 会有某种映射设立从单参数 到 的同态:

而相等显着， 这种映射 应该具有指数映射的口头:

在这内部有一个待定的元素 (巧合说算符， 在量子力学时势下) ， 每当咱们笃定了一个 ， 就笃定了一类李群的口头， 也便是说每个笃定的 通过这种指数运算和特定的参数勾搭， 会映射到一个笃定的李群中的特定的一个变换， 这个 ， 当作每类李群的 “指纹”， 称为李群的生成元. 从上述抒发式的口头不错看出， 李群的生成元相等于李群在恒等元处的切矢量.

天然， 上述针对单参数群的论证也不错应用到多参数情况， 相应的 也会相应改写成乞降以致张量缩并的口头， 这是会有多个变化参数以及与之对应的多个生成元基底.

李群的生成元张成的线性空间需要对其中的元素规矩一类乘法， 称为李括号[6] 温情:

这么界说了乘法的线性空间酿成了一类代数， 就称为李群 的李代数 ， 李代数中的元素是生成元的线性组合， 组合悉数是变换参数， 通过指数映射成为李群中的群元， 事实上咱们不错口头化的追念成如下口头:

前边提到， 李群的生成元相等于李群在恒等元处的切矢量， 生成元张成的空间 (李代数) 就应该相等于恒等元处的切空间， 事实上这恰是被解释的定理:

李群的生成元空间与李群在恒等元处的切空间同构.

用知道图[7]知道为如下口头:

图片

咱们不错趁机不加解释地给出荒谬正交群和荒谬幺正群的李代数

留意到这里 元素的特质， 其实就教唆了咱们不错应用泡利矩阵组成 群的生成元， 咱们将在后文进行论证.

三维空间中的荒谬正交群是整个保向的旋转换换[8]的逼近

这里用场地余弦和球极坐标两种方式知道转轴 的朝向， 今后王人会用到.

荒谬动掸是绕三个基矢量场地的动掸， 事实上， 字据咱们已有的论断， 这三种动掸的生成元逼近便是整个这个词 的生成元:

从而就不错由荒谬动掸:

推知

以及一般动掸的矩阵群知道[9] (缩写 )

写成张量重量的口头便是:

给出李群的知道后， 咱们再提一句它的李代数， 知道为下述的对易关系:

临了， 当作微分流形， 这里简便提一下， 不是本期的主要论证内容: 是 旅途连通的子流形， 不错知道成以 为半径的球体， 球体名义对径招供， 可是球体不是单连通的， 事实上 是双连通的.

荒谬幺正群的知道固然是用二阶矩阵群知道， 可是它仍然不错描述三维空间中的旋转 (而且事实上不单不错描述三维空间的动掸， 这小数不错在旋量知道里体现出来). 这是因为 的作用对象不错按照泡利矩阵进行认识， 在这里泡利矩阵代替了知道空间的基矢成为了作用对象与变换群元的基底， 也即， 泡利矩阵是群 的生成元. 借由此， 咱们不错成列出 的几种主要的知道措施:

可是其中最进攻的照旧从上式第三行动身， 若设 与 的关系:

则不错看出， 如果令 ， 则履行上应有 . 群元不错通过泡利矩阵描述:

从而写成了指数映射的口头， 抒发式评释， 是三个泡利矩阵组成的李代数， 通过指数映射酿成 的群元.

雷同再简便说起一下 当作微分流形的图像. 其实抒发式 就照旧标明， 二维荒谬幺正群代表一个三维球面 ， 况兼不错论证它是单连通的.

其实如果再对比一下 与 的李括号， 是不错发现它们本体上具有满盈疏通的口头， 也便是说， 和 共用吞并个李代数. 可是它们的 “大小” 并不一样， 流形的连通性也不一样， 在这个例子里， 的元素应该是 的 “一半”， 这种情况下后者酿成前者的二重笼罩群， 也即三维空间的旋量群， 后续有契机也将进行考虑.

如果了解四元数的话， 咱们其实不错发现， 不管是上节的抒发式 ， 照旧所谓 等一系列知道， 它们王人曾经出咫尺单元四元数的知道中:

✦ 元素: ;

✦ 四元数: ;

是以事实上咱们不错构造从四元数到 群元素的同构映射:

这么的话， 咱们不错哄骗的已有的四元数知道旋转的法例:

用四元数知道的矢量 绕轴 转 角度到 对应的四元数为 ， 操办系:

给出 对于矢量旋转的操作方式:

， 设 ， 则有 .

其实这种操作方式 (陪同作用) 不错通过打算变换前后 的重量， 从而指令出对应的 群元的矩阵知道重量， 字据这个重量咱们不错对于 和 的笼罩关系进行考虑， 这将留到之后的内容中.

群论速成: 笔者的群论主如果通过知乎用户 @東雲正樹 的群论专栏系列完成的，专栏从群论群知道论动身， 持续到李群与李代数， 到应用于场论中常用的洛伦兹群的知道， 最终引出 Clifford 代数以及旋量的见识终了. 

参考: 李新征. 群论偏执在凝合态物理学中的应用. 北京: 北京大学出书社， 2019. 

参考: 刘玉鑫. 物理学家用李群李代数. 北京: 北京大学出书社， 2022.

参考: 冯承天， 余扬政. Riemann流形深爱激情网， 外微分口头以及纤维丛表面—物理学中的几何措施. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出书社， 2021.